한가위 보름달은 수학으로 뜬다!

2014.09.06 05:00

민족 대 명절 추석이 성큼 다가오고 있다. 음력 815일인 추석은 가장 밝고 둥근 보름달을 볼 수 있는 날로, 오래전부터 사람들은 추석에 보름달을 보며 소원을 빌곤 했다.

 

이런 달의 모양을 수학적으로 보면 어떨까? 먼저 가장 밝고 둥근 보름달은 평면도형인 을 연상할 수 있다. 그리고 상현달(또는 하현달)은 원을 반으로 나눈 반원이라고 볼 수 있다.

 

그렇다면 초승달은 어떤 도형으로 볼 수 있을까? 수학에서는 오른쪽 아래 그림과 같이 두 개의 원의 호로 이뤄진 초승달 모양의 평면도형을 궁형(Lune)’이라고 부른다. ‘Lune’은 달을 뜻하는 라틴어인 ‘Luna’에서 유래된 영어 단어다. 고대의 수학자들은 가장 완벽한 평면도형으로 여겼던 원을 연구하면서 궁형에 대한 성질을 밝혀냈다.

 

이뿐만이 아니다. 구의 겉면인 구면 위의 도형을 다루는 구면 기하학에도 달(Lune)이 있다. 왼쪽 아래 그림과 같이 구가 있고, 구의 지름을 포함하는 두 원이 겹쳐져 있다고 하자. 이때 노란색에 해당하는 곳을 구면 기하학에서는 (Lune)’이라고 한다.

 

이미지 확대하기(주)동아사이언스 제공 이미지 확대하기(주)동아사이언스 제공

왼쪽의 노란 부분은 평면 도형에서의 궁형이고, 오른쪽 그림의 노란 부분은 구면 기하학에서의 궁형이다. (주)동아사이언스 제공

궁형의 성질을 연구한 대표적인 수학자로는 고대의 수학자 히포크라테스가 있다. 지금으로부터 약 2500년 전인 기원전 5세기, 히포크라테스는 피타고라스와 더불어 기하학 연구에 심취해 있었다. 히포크라테스의 업적 중에서도 단연 손꼽히는 것은 바로 초승달에 관한 연구다. 그의 이름을 따서 히포크라테스의 초승달이라고 불리는 정리는 다음과 같다.

 

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(주)동아사이언스 제공

이와 같이 히포크라테스는 초승달의 넓이와 이등변 직각삼각형의 넓이가 같음을 증명했다. 히포크라테스가 초승달 연구를 한 것은 평면도형의 구적문제와 관련이 있다. 구적문제란, 평면도형과 같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도하는 문제를 뜻한다.

 

고대 수학자들은 먼저 직사각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있는가?’와 같이 단순한 다각형의 구적문제에 도전해 구적 가능함을 증명했다. 그 이후에는 불규칙한 다각형도 구적 가능함을 밝혀냈다.

 

직선으로 된 평면도형이 모두 구적가능하다는 것이 증명되자, 수학자들은 곡선으로 된 도형이 구적 가능한지 생각하기 시작했다. 그리고 한 수학자가 곡선으로 된 구적 가능한 것을 찾았는데, 그가 바로 히포크라테스다. 당시 수학자들은 히포크라테스가 구적 가능한 초승달을 찾아내자, 최대 난제였던 원의 구적문제에도 희망이 보인다고 믿었다.

 

그러나 구적 가능한 초승달은 지금껏 히포크라테스가 찾은 3개의 초승달과 2000년이 넘게 시간이 흐른 18세기에 오일러가 찾은 2개의 초승달을 포함해 5개뿐이다. 그리고 20세기에 이르러 수학자 체바토루와 도로드나우는 구적이 가능한 초승달은 5개뿐이라는 것을 증명했다. , 달의 모양은 고대 수학자들의 연구 대상이자 현대 수학자도 관심을 갖고 도전한 난제였던 것이다.

 

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