[주말N수학]아무렇게 숫자를 뽑아 더해도 같은 집합일까?

2019.03.24 00:00
에르되시의 합의 추측을 푼 연구자들이 이 문제를 공동으로 연구하게 된 계기가 된 2017년 8월 미국에서 열린 워크숍. 이번 결과를 낸 수학자 중 한 명인 조엘 모레이라는 가장 오른쪽에 회색 티셔츠를 입고 있다. merican Institute of Mathematics
에르되시의 합의 추측을 푼 연구자들이 이 문제를 공동으로 연구하게 된 계기가 된 2017년 8월 미국에서 열린 워크숍. 이번 결과를 낸 수학자 중 한 명인 조엘 모레이라는 가장 오른쪽에 회색 티셔츠를 입고 있다. merican Institute of Mathematics

수학자들은 자연수 전체에서 일부만 뽑아 그 수들이 어떤 성질을 가지는지 살핍니다. 그 수들에 색깔도 칠해보고, 더해도 보고, 등차수열도 만들고 말이죠. 최근 이런 숫자 뽑기에 관한 적어도 40년 묵은 문제가 풀렸습니다.

 

자연수 전부를 빨강과 파랑 두 가지 색깔 중 하나를 골라 그 색으로 나타냅니다. 그러면 3개의 서로 다른 자연수로 이뤄진 같은 색의 등차수열이 반드시 생깁니다. 여러분은 이 사실을 알고 있었나요? 몇 가지 경우를 잘 따져보면 쉽게 확인할 수 있습니다. 등차수열이란 1, 3, 5, 7, …이나 5, 9, 13, 17, …처럼 이웃한 두 항의 차이가 항상 일정한 수열을 말합니다. 

 

앞서 소개한 예는 1927년에 증명된 판데르바르던의 정리의 특수한 경우입니다. 심지어 등차수열에 속한 수를 3개가 아니라 아무리 큰 수로 고정하더라도 이게 참이라는 것을 네덜란드 수학자 바르털 레인더르트 판데르바르던이 증명했지요. 게다가 색깔의 종류를 2가 아니라 100으로 늘려도 옳다는 것을 보였습니다. 헝가리 수학자 에르되시 팔과 튜란 팔은 판데르바르던의 정리를 보고 1936년에 다음과 같은 더 어려운 문제를 만들었습니다.

 

이 문제는 약 40년이 지난 1975년에 헝가리의 수학자 세메레디 엔드레가 해결했습니다. 이 업적으로 세메레디는 2012년 수학 분야에서 권위를 인정 받는 아벨상을 받습니다. 등차수열 말고 다른 성질에 대해 생각해 보면 어떨까요? 


판데르바르던 정리보다 더 오래된 비슷한 문제로 ‘슈르의 정리’가 있습니다. 자연수 각각을 두 가지 색 중 하나로 아무렇게나 칠해도 같은 색인 두 수 x, y가 있어서 그 합 x+y 또한 같은 색이라는 겁니다. 즉 x와 y를 잘 고르면 (빨강 x, 빨강 y, 빨강 x+y) 또는 (파랑 x, 파랑 y, 파랑 x+y)가 있다는 거지요.


슈르의 정리를 수 3개로 확장한 것도 이미 증명돼 있습니다. x, y, z의 색이 같으면서 이 세 수로 만들 수 있는 모든 합 x+y, y+z, x+z, x+y+z도 모두 같은 색이 되게 할 수 있다는 겁니다. 그렇다면 같은 색의 수를 3개, 4개 말고 무한히 많이 뽑아도 거기서 만들 수 있는 모든 유한개 수의 합이 모두 같은 색일 때가 있을까요?

이 문제는 미국 수학자 로널드 그레이엄과 린다 로스차일드가 만들었는데, 미국 수학자 닐 하인드만이 1974년 쓴 논문에서 이 문제를 해결합니다. 하인드만의 정리는 다음과 같습니다.


하인드만은 색이 2개가 아니라 여러 개여도 정리가 성립한다는 것을 증명했습니다. 이후 에르되시는 1980년 출판된 논문에서 아래와 같은 추측을 제기했습니다. 

사실 에르되시의 이 추측은 하인드만의 정리의 결과를 조금 약하게 만들어 일반화한 것이라고 할 수 있습니다. 하인드만의 정리로 자연수 각각을 100가지 색으로 아무렇게나 칠해 수를 뽑은 집합을 B라고 했을 때 B=C이면 B+C의 원소는 모두 같은 색이기 때문이지요.


이 문제는 한동안 해결의 기미를 찾지 못했습니다. 그러던 2015년 마우로 디 낫소, 아이작 골드브링, 런링 진, 스티븐 레스, 마르티노 루피니, 칼 마할버그 이렇게 6명은 에르되시의 합의 추측에서 100분의 1을 2분의 1로 바꾸면 참이라는 것을 증명한 논문을 캐나다의 수학 학술지에 실었습니다. 


그리고 2019년 1월 22일 에르되시의 합의 추측을 해결한 논문이 최고 수학 학술지 중 하나인 ‘수학연보’에 실릴 거라는 공지가 났습니다. 논문을 쓴 주인공은 조엘 모레이라, 플로리안 카를 리히터, 도날드 로버트슨 이 3명으로, 박사 학위를 받은지 얼마 안 된 새내기 수학자들입니다.

 

에르되시의 합의 추측을 해결한 수학자 중 한 명인 플로리안 카를 리히터. 노스웨스턴대 제공
에르되시의 합의 추측을 해결한 수학자 중 한 명인 플로리안 카를 리히터. 노스웨스턴대 제공

모레이라는 2016년, 리히터는 2018년, 로버트슨은 2015년에 각각 박사 학위를 받았습니다. 이들은 2017년 8월에 미국 캘리포니아주에서 일주일동안 열린 워크숍에서 만나 공동연구를 했습니다. 이 워크숍은 2015년 결과를 냈던 수학자 3명인 낫소와 골드블링, 루피니가 주관했는데, 결국 거기서 그 분야 전문가들이 모여서 이 문제를 고민하다가 해답이 나온 셈입니다.


간혹 수학자들은 외롭게 수학 문제를 풀 거라고 생각하는 분들이 있습니다. 사실은 그렇지 않은데요, 좋은 수학자가 되려면 전문가들과 자주 만나 연구(사교) 활동을 하는 게 좋습니다. 이렇게 워크숍에서 만나 이야기를 나누다가 힘을 합쳐 공동연구로 이어져서 좋은 연구 결과로 마무리되는 경우가 정말 많거든요. 그래서 전세계를 여행하면서 즐겁게 일하는 것을 원한다면 수학자라는 직업을 추천합니다.

 

참고자료

조엘 모레이라, 플로리안 카를 리히터, 도날드 로버트슨 ‘A proof of a sumset conjecture of Erdos’, 마우로 디 낫소, 아이작 골드브링, 런링 진, 스티븐 레스, 마르티노 루피니, 칼 마할버그 ‘Approximate polynomial structure in additively large sets’

 

※ 필자소개

엄상일 교수.  KAIST 수학과를 졸업하고, 미국 프린스턴대학교에서 박사 학위를 받았다. 현재 기초과학연구원과 KAIST에서 연구와 강의를 하고 있다. 그래프이론과 이산수학, 조합적 최적화가 주요 연구 분야다. 2012년에는 젊은과학자상(대통령상)을 수상했고, 2017년에는 한국차세대과학기술한림원 회원으로 선정됐다. 

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